Académico UC resolvió problema matemático que tiene casi un siglo de antigüedad

La revista científica, Inventiones Mathematicae  publicó una nueva investigación del profesor de la Facultad de Matemáticas UC, Héctor Pastén. Esta vez, se trata de “The largest prime factor of n^2 + 1 and improvements on subexponential ABC”, realizado sin coautores y que arroja resultados inéditos en Teoría de Números.

El trabajo del matemático, experto en esta línea de investigación, contiene dos aplicaciones. La primera, ejemplifica los alcances de una teoría sobre curvas de Shimura desarrollada por Pastén durante su tiempo como investigador en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y en la Universidad de Harvard, y que destaca por resolver un problema que tiene casi un siglo de antigüedad. Este problema se origina en los trabajos de Mahler y Chowla en los años 30, y trata sobre estimar el tamaño del mayor factor primo de los números que son el sucesor de un cuadrado, tales como 2, 5, 10, 17, etc.

La segunda aplicación, relacionada a la conjetura ABC - considerada como uno de los mayores misterios de la matemática- dio con un resultado que se posiciona como el más sólido hasta la fecha.

La revisión y publicación del artículo tomó solo dos meses, en contraste con los dos años o más que puede llegar a demorar la totalidad del proceso en una revista del nivel de Inventiones Mathematicae, sobre todo para aquellos trabajos relacionados a Teoría de Números, donde existe un alto nivel de dificultad técnica en los artículos.

La revisión y publicación del artículo tomó solo dos meses, en contraste con los dos años o más que puede llegar a demorar la totalidad del proceso en una revista del nivel de Inventiones Mathematicae, sobre todo para aquellos trabajos relacionados a Teoría de Números, donde existe un alto nivel de dificultad técnica en los artículos.

“Estos procesos de revisión son muy lentos, dado la complejidad del tema. Se trata de una disciplina mucho más complicada que otras, debido a la gran variedad de técnicas y herramientas de todo el espectro de la matemática que son necesarias para poder siquiera comenzar a hacer algo”, explicó el profesor Pastén.
 
El académico manifestó su orgullo con los resultados obtenidos, los que además fueron publicados en solo trece páginas: “Para mí es muy gratificante ver los frutos de esos esfuerzos anteriores y representa un gran logro personal, porque llevo trabajando en este problema desde hace más de diez años. Si bien sigue sin solución, el poder obtener el resultado actualmente más fuerte viene a premiar todos esos esfuerzos”.

Sobre la investigación

El trabajo de Héctor Pastén desarrolla una técnica para estudiar los factores primos de enteros. Se dan dos aplicaciones de la técnica. La primera, tiene que ver con la secuencia de los sucesores de los cuadrados (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...), donde el problema es mostrar que el factor primo más grande de estos números crece a una cierta velocidad. Por ejemplo, 50=7x7+1 tiene sólo dos factores primos: 2 y 5, siendo el mayor de ellos 5, el que no es demasiado grande. Lo deseable es que ese mayor factor primo, en realidad, no pueda ser tan pequeño a medida que se avanza en la secuencia.

“Para mí es muy gratificante ver los frutos de esos esfuerzos anteriores y representa un gran logro personal, porque llevo trabajando en este problema desde hace más de diez años. Si bien sigue sin solución, el poder obtener el resultado actualmente más fuerte viene a premiar todos esos esfuerzos”- Héctor Pastén, académico Facultad de Matemáticas UC

Hasta antes del artículo, lo único que se sabía era un Teorema de Mahler y Chowla, de hace 90 años y demostrado en 1934, sobre el que no se había logrado ningún progreso. “Un problema famoso en el área de estudio de factores primos de valores de polinomios era el poder mejorar el teorema de Mahler Y Chowla. Mi trabajo da la primera mejora sustancial que tanto se buscaba desde hace ya casi un siglo”, explicó Pastén.

La segunda aplicación de la técnica que el académico da en este trabajo es más compleja, ya que tiene que ver con la Conjetura ABC, considerada por muchos como el problema más importante en la Teoría de Ecuaciones Diofantinas.

“Esta conjetura relaciona la estructura aditiva y multiplicativa de los números enteros y es tan fundamental que si fuera resuelta tendría como consecuencia una serie de otros problemas abiertos. Si bien la conjetura ABC permanece sin solución, ha habido varios avances y hasta antes de mi trabajo, lo más fuerte que sabíamos era un teorema de Stewart y Yu de hace más de dos décadas. Mi trabajo da una gran mejora al teorema de Stewart y Yu en un caso de interés, por lo que hoy se sitúa como el resultado más fuerte disponible para la conjetura ABC”, puntualizó.

Trayectoria académica

Durante su carrera, Héctor Pastén ha recibido numerosos reconocimientos por su investigación, centrada en entender fenómenos relacionados a los puntos racionales en variedades (una versión moderna del clásico tema de ecuaciones Diofantinas), los análogos en teoría de variable compleja, y problemas de lógica matemática relacionados a la teoría de números. Su trabajo lo ha llevado a recibir una serie de distinciones, entre las que destacan la Medalla de Oro del Gobernador General de Canadá (2014), el Premio Doctoral de la Canadian Mathematical Society a la tesis más destacada (2015), el Mathematical Council of the Americas Prize (2017), y el premio G. de B. Robinson, de la CMS (2023).

Nota relacionada:

El factor Pastén